証明の流れについて

• 「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」が成立することと，逆向きの矢印が成立しないことを確認しようとしています。（なお，チェーンは順序の特別な場合でした。）
• SWFの定義域に属するのは，社会的選好関係が順序性（反射性・完備性・推移性）を満たすときでした。多数決決定法の場合，反射性と完備性が満たされるのは当然ですので，推移性の成立が1つのポイントになります。

必要性の確認

• 「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」の確認です。
• 定理10*7では，「個人の選好の（「完全無差別以外の順序」に限定された）集合が多数決決定SWFの定義域に属する」⇔「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」を示しました。
• チェーンの集合は，"「完全無差別以外の順序」に限定された集合"の一種でした。 よって，定理10*7を介して，「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「個人の選好の（「完全無差別以外の順序」に限定された）集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」が成立します。（最後の「→」は「⇔」でもよいのですが。）
• つまり，「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」ことが確認されました。
• さらに，補題10*eより，個人的選好がチェーン（反対称的）の場合には，ER→VRが成立するので，「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」が得られます。
• 以上より，必要性を確認できました。

十分性（が満たされないこと）の確認

• 「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」←「あらゆる3選択肢集合が価値制限(VR)を満たす」が成立しないことの確認です。
• VRが満たされるのに，社会的選好関係が推移性を満たさない例を1つ示し，反例を挙げるかたちで議論しようとしています。
• 書籍の2人の選好を見比べると，xが「最悪でない」，yが「最良でない」，zが「中間でない」といった特徴があり，VRが満たされています。
• さて，書籍の2人がいる状況で，xPy, yIz, xIzの社会的選好関係が導かれるのはよいでしょう。このとき，（推移性が成立していれば，xPyかつyIz→xPzでなければならないはずですから）社会的選好関係について推移性が成立していないことが判ります。
• 以上，十分性が満たされないことが確認できました。

必要十分条件について

• 「定理10*7で与えられた通り」とされており，つまり，「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」⇔「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」の意味と考えられます。
• 必要性，すなわち「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」→「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」については，すでに上述の議論で確認済みでした。
• 十分性，すなわち「個人の選好のチェーンの集合が多数決決定SWFの定義域に属する」←「あらゆる3選択肢集合が極値制限(ER)を満たす」については，定理10*4（P.215）から理解できます。（定理10*7でも，定理10*4に基づいて十分性を確認していました。）