ER→VRの証明

• 「ERが満たされている」と仮定して議論が開始されました
• ER（定義10*3, P.208）は，各個人がxIyのような無差別的な選好関係を含んでいる場合にも成立します。（定義10*3の式の→の左辺がもともと成立していないため，定義式全体としては成立します。）
• ですが，反対称性を前提しているので（個人的選好の中にxIyのような無差別関係は存在していないので），ここでそのようなケースを考える必要はありません。
• ここで「ERが満たされている」とは，xPyPzのような個人が実際に存在し，かつERの→の右辺(∀i:zPix →zPiy & yPix)も成立している状況です。
• （一般性を失うことなく），ある個人iについてxPiyPizであると仮定しました。（ERより，∀i:zPix →zPiy & yPixです。）
• zPixのような個人がいる場合といない場合に分けて考えます。
• zPixのような個人がいない場合
  • 反対称的な順序の場合（Iがない場合）〜(zPix)→xPizです。（xとzの間には，もともとxPiz, xIiz, zPixの3ケースしかなく，反対称的な場合はxIizが除かれているためです。）
  • よって，全個人がxPizを満たすことになります。
  • このとき，zは誰の順序においても「最良でない」ため，VRが満たされることが判ります。
• zPixのような個人（よってzPiy & yPixのような個人）がいた場合
  • この個人を前提に，もう一度ERを適用して考えると，xPizを満たす全ての個人はxPiyPizでなければなりません。
  • つまり，∀i:zPix→zPiyPix，かつ，∀i:xPiz→xPiyPizが確認されました。
  • ところで，反対称的な場合は，もともと∀i: xPiz ∨ zPixでした。 （xとzの間にはxPiz, xIiz, zPixの3ケースしかなく，反対称的な場合はxIizが除かれているためです。）
  • よって，∀i: {xPiyPiz ∨ zPiyPix}ということになります。
  • よって，yがどの個人においても「最良でない」（また「最悪でない」）ことが判り，VRが満たされることが確認されます。
• 以上，いずれのケースについてもVRが満たされることが確認され，ER→VRの証明部分が終了しました。

LA→VRの証明

• LAが満たされると仮定して議論を始めました。（一般性を失うことなく），全個人iについてxRiyであるとしました。
• ところで，反対称的な場合は，xRiy→xPiyです。（xRiyには，もともとxIiyとxPiyの可能性がありますが，反対称的な場合はxIiyが除かれているためです。）
• よって，全個人がxPiyということになりますが，このときどの個人においてもxは「最悪でない」ことになります。（yが「最良でない」ことにもなります。）
• よってVRが成立ことが確認され，LA→VRの証明部分も終了しました。