証明手順について

• 「SWFの定義域に入る」のは，（個人的選好の布置によらず）導出される社会的選好関係が順序性（反射性，完備性，推移性）を満たすという意味でした。多数決決定法の場合，反射性と完備性が満たされるのは当然ですので，推移性の成立に着目していきます。
• ERの必要十分性のうち，まず必要性を確認していきます。（必要性の証明は「推移性が成立する」→「ERが満たされる」の証明ですが，これを対偶を取って進めています。）
• ERが満たされないとすれば，例えば，xPiyPizである個人iがおり， 同時に，「zPjxであり，かつzPjyPjxではない」個人jが別にいることになります（ERの定義（P.208）より）。
• そうした個人の選好には何パターンかありますが，zPxは固定されているので，あとはxやzに対するyの相対的な位置のみが変わりうるポイントです。
• もともとの13種類の順序のうち，zPxを含むのは， (2.1) yPzPx, (2.3) yIzPx, (3.1) zPxPy, (3.2) zPxIy, (5) zPyPxの5ケースでした。このうち，(5)のzPyPxのパターンだけは除いて考えるのですから，可能性があるのは他の4パターンです。
• 書籍の「(1) zPjx, zPjy, xRjy」は，(3.1) zPxPy, (3.2) zPxIyのケースをまとめて表現したものです。
• 書籍の「(2) zPjx, yPjx, yRjz」は，(2.1) yPzPx, (2.3) yIzPx,のケースをまとめて表現したものです。
• さて，iとjしかいない状況での多数決を考えます。
• jが(1)の選好をもつ個人であるとすると，iとjは，yとzについては反対，xとzについても反対の選好をもつので，社会的選好としてはyIz, xIzです。また，xとyについては，xPiyかつxRjyですから，xPyになります。
• このとき，選択集合が空になるような問題は生じていませんが（xとzが選択集合に入ります），社会的選好関係は順序になっていません（xRzかつzRyなのにxRyとならず，推移性が成立していません）。
• jが(2)の選好をもつ個人であるとすると，iとjは，xとyについては反対，xとzについても反対の選好をもつので，社会的選好としてはxIy, xIzです。また，xとzについては，xPizかつyRjzですから，xPzになります。
• このときも，選択集合が空になるような問題は生じていませんが（xとyが選択集合に入ります），社会的選好関係は順序になっていません（zRxかつxRyなのにzRyとならず，推移性が成立していません）。
• 以上より，ERが満たされないと，推移性が満たされないことが確認されました。
• もともと定理10*4で十分性が示されていたことを確認して，必要十分性の証明終了となります。