証明手順の確認

• 極値制限(ER)を満たしていながら準推移性が崩れる例を示すことで，証明しようとしています。
• ERを満たす可能な順序のセットとして，(1), (2), (3), (4)の組み合わせを設定しました。
• 本文の説明より，N=3+2q（人）です。また，
  • xとyの比較に際しては，N*=N=3+2q（人）です。
    このとき，pN+(1-p)N*=3+2qになります。
  • yとzの比較に際しては，N*=N=3+2q（人）です。
    このとき，pN+(1-p)N*=3+2qになります。
  • zとxの比較に際しては，N*=3（人）です。（(3)と(4)のケースの個人が関与しないためです。）
    このとき，pN+(1-p)N*=p(3+2q)+(1-p)×3=2pq+3 > 5になります。
    （（1/q）< p より 1 < pqで，よって 3 + 2pq > 5です。）
• xとyの比較
  • N(xPy)= N1 + N4 = 2 + q
  • よって，N(xPy)/[pN + (1-p)N*]=(2+q)/(3+2q) > (2+q)/(4+2q) = (1/2)
  • よってxPyが成立します。（「これに加えて...」の定義により，同時に〜(yRx)が成立することになります。）
  • なお，念のためN(yPx)を確認すると，N(yPx)= N2 + N3 = 1 + q
  • よって，N(yPx)/[pN + (1-p)N*]=(1+q)/(3+2q) < (1+q)/(2+2q) = (1/2)
  • よってyPxは成立しません。（xRyが成立することになります。）
• yとzの比較
  • N(yPz)= N1 + N3 = 2 + q
  • よって，N(yPz)/[pN + (1-p)N*]=(2+q)/(3+2q) > (2+q)/(4+2q) = (1/2)
  • よってyPzが成立します。（「これに加えて...」の定義により，同時に〜(zRy)が成立することになります。）
  • なお，念のためN(zPy)を確認すると，N(yPx)= N2 + N4 = 1 + q
  • よって，N(zPy)/[pN + (1-p)N*]=(1+q)/(3+2q) < (1+q)/(2+2q) = (1/2)
  • よってzPyは成立しません。（yRzが成立することになります。）
• xとzの比較
  • N(xPz)= N1 = 2
  • よって，N(xPz)/[pN + (1-p)N*]= 2 /(3+2pq) < 2/ 5 < 1/2
    （「3 + 2pq >5」でした。）
  • よってxPzが成立しません。（「これに加えて...」の定義により，同時に zRxが成立することになります。）
  • また，N(zPx)= N2 = 1
  • よって，N(zPx)/[pN + (1-p)N*]= 1 /(3+2q) < 1/2。
  • よってzPxが成立しません。（xRzが成立することになります。）
  • zRxかつxRzなので，xIzとなります。
• 以上より，xPyかつyPzであるのに，xIzとなり，xPzが得られなかったことになります。
• どれほどpを小さくしても，（ 0 < (1/q) < p の条件に合う整数qは存在するため）準推移性に反するケースは残り続けます。以上の確認をもって証明終了となります。