アマルティア・センの『集合的選択と社会的厚生』を開く

II．読解のポイントを探る　【P.217, L.21】

dss50.org
 

検討項目

位置 検討する部分 種別 訂正案, コメント
P.217 L.21 （補題10*dについて) X



  • 直感的にも理解されますが，ここでは少し細かく確認してみます。
  • 多数決決定法は，定義5*1（P.87）で導入され，∀x, y ∈X: xRy⇔[N(xPy)>= N(yPx)]というものでした（xIy，つまりxRyかつyRxが成立するのは，右辺で等号が成立するときでした）。
  • この定義より，多数決決定法では∀x, y ∈X: xPy⇔[N(xPy)> N(yPx)]であったことになります。
  • 右辺のN(xPy)>N(yPx)が成立する場合，両辺にN(yPx)を足す計算から，
    N(xPy) +N(yPx) > N(yPx)+N(yPx)=2N(yPx)が得られます。

    一番左のN(xPy)+N(yPx)はN*に等しいので，つまり，N*>2N(yPx)です。 これより，N(yPx)/N*<1/2です。

  • さてN(xPy)をN*で割る計算を考えると，N(xPy)/N*=(N*-N(yPx))/N*=1-N(yPx)/N*>1/2が得られます。

    N(xPy)/N*>1/2ということで，つまり，多数決決定法でxPyであるときはN(xPy) > (1/2)N*です。
    　（書籍には「必要である」とあり，それは正しいのですが，十分条件でもあります。）

  • さて，もともとN*<=Nなので，もし厳密な多数決ルールが成立してN(xPy)/N > 1/2であれば，もちろんN(xPy)/N* > 1/2（よってN(xPy) > (1/2)N*）も成立します。
  • 以上より，厳密な多数決ルールでxPyであれば，通常の多数決決定法でもxPyであることが確認され，証明終了となります。




本ページの概要とお願い：
  • 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の 特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
  • 本ホームページの主旨や注意などについては，こちら（「読解のポイントを探る」項目リストページ）をご覧下さい。



[2015年8月1日 初版をアップ] （最終アップデート：2015年11月23日）


「アマルティア・センの『集合的選択と社会的厚生』を開く」のトップページに戻る
「読解のポイントを探る」（項目リストページ）に戻る