証明の開始部分について

• 定理は，無関係選択肢からの独立性，中立性，非負の反応性を前提に， 「価値制限が満たされる」→「集合的選択ルールが準推移性を満たす」を主張しています。
• 証明では，「集合的選択ルールが準推移性を満たさない」とすると矛盾が生じるという背理法を用いて，このことを論証しようとしています。
• ところで，補題10*cでは，「価値制限が満たされる」→「(1), (2), (3)のうち少なくとも1つが満たされる。また(4), (5), (6)の少なくとも1つが満たされる」が確認されていました。 本証明の背理法ではこのことを利用しており，「(1), (2), (3)のうち少なくとも1つが満たされる。また(4), (5), (6)の少なくとも1つが満たされる」以上，「集合的選択ルールが準推移性を満たさない」とすると矛盾が生じることを示す論法を取っています。

p.212の数式について

• 1行目は，補題1*cの(1)式（P.212の3行目）から得られます。(1)式は，xIyIz以外にxRyRzが成立するケースがないことを主張しますので， 〜(xIiyIiz)⇔〜(xRiyRiz)⇔〜(xRiy & yRiz)です。よって， 〜(xIyIz)→〜(xRy & yRz)も成立します。
• 1行目の中の〜(xRiy & yRiz)より，「xRiyが成立する場合は，yRizが成立しない（zPiyが成立する）」ことが必要です。また，「yRizが成立するならばxRiyが成立しない（yPix）が成立する」ことが必要です。
• 数式で表せば，(xRiy→zPiy)&(yRiz→yPix)となります。
• こうして，2行目の展開の∀i:{〜(xIiyIiz)→[(xRiy→zPiy)&(yRiz→yPix)]}が得られます。
• この2行目から， ∀i:{[〜(xIiyIiz) & xRiy → zPiy]&[〜(xIiyIiz)&(yRiz)→yPix]}が得られます。
  • 2行目で，∀i:{〜(xIiyIiz)→[(xRiy→zPiy)&(yRiz→yPix)]}の下線部に注意すると，〜(xIiyIiz)であり，xRiyであれば，zPiyでなければならないことになっています。
  • つまり，〜(xIiyIiz) & xRiy → zPiyです。
  • 同じく，∀i:{〜(xIiyIiz)→[(xRiy→zPiy)&(yRiz→yPix)]}の下線部に注意すると，〜(xIiyIiz)であり，yRizであれば，yPixでなければならないことになっています。
  • つまり，〜(xIiyIiz) & yRiz → yPizです。
• 続けて，xRy⇔(xPy) or (xIy)であることから，式を次のように変形できます。
  
  ∀i:{[〜(xIiyIiz) & xRiy → zPiy]&[〜(xIiyIiz)&(yRiz)→yPix]}
  
  　　→∀i:{[〜(xIiyIiz) & (xPiy or xIiy) → zPiy]&[〜(xIiyIiz)&(yPiz or yIiz)→yPix]}
  
  　　→∀i:{[〜(xIiyIiz) & (xPiy) → zPiy]　　（※以下「前提1」と呼びます）
  　　　　&[〜(xIiyIiz) & (xIiy) → zPiy]　　（※以下「前提2」と呼びます）
  　　　　&[〜(xIiyIiz) & (yPiz) → yPix]　　（※以下「前提3」と呼びます）
  　　　　&[〜(xIiyIiz) & (yIiz) → yPix]}　　（※以下「前提4」と呼びます）
  
• ここから，P.212の数式の3-4行目への展開が得られます。すなわち，
  
  　　→∀i:{[(xPiy → zPiy)　　（※以下「結果1」と呼びます）
  　　　　 & (xIiy → zRiy)]　 （※以下「結果2」と呼びます）
  　　　　 &[(yPiz → yPix)　　（※以下「結果3」と呼びます）
  　　　　 &[(yIiz → yRix)]}　　（※以下「結果4」と呼びます）
  
  • 結果1[xPiy → zPiyは，前提1 [〜(xIiyIiz) & (xPiy) → zPiy]から得られます。
    • もともと，xPiy→〜(xIiyIiz)です。（もちろん，xPiy→〜(xIiyIiz) & xPiyでもあります。）
    • よって，xPiy→〜(xIiyIiz) & (xPiy) → zPiyで，結果1が得られました。
  • 結果2[xIiy → zRiy]は，前提2 [〜(xIiyIiz) & (xIiy) → zPiy]から得られます。
    • 例えば，〜(yIiz) & (xIiy) → 〜(xIiyIiz) & (xIiy) です。
    • よって，〜(yIiz) & (xIiy)→ zPiyです。
    • 一方， (yIiz) & (xIiy) → zIiyが成立します。
    • この2式より，xIiy → zRiyとなり，結果2が得られました。
  • 結果3[yPiz → yPix]は，前提3 [〜(xIiyIiz) & (yPiz) → yPix]から得られます。
    • もともと，yPiz→〜(xIiyIiz)です。（もちろん，yPiz→〜(xIiyIiz) & (yPiz)でもあります。）
    • よって，yPiz→〜(xIiyIiz) & (yPiz) → yPixで，結果3が得られました。
  • 結果4[yIiz → yRix]は，前提4 &[〜(xIiyIiz) & (yIiz) → yPix]から得られます。
    • 例えば，〜(xIiy) & (yIiz) → 〜(xIiyIiz) & (yIiz) です。
    • よって，〜(xIiz) & (yIiz) → yPixです。
    • 一方， (xIiz) & (yIiz) → yIixが成立します。
    • この2式より，xIiy → zRiyとなり，結果4が得られました。
• ※なお，以上の式の展開が適切であることは，次のように確認することもできます。（本件は補足です。）
  
  • 13ケースの順序について，〜(xIiyIiz) ∧ xRiy → zPiyが成立しているケースがどれか確認すると以下のようになります。
    
    

    		A: 〜(xIiyIiz)	B: xRiy	A∧B	C: zPiy	A∧B → C
    (1.1)	xPyPz	○	○	○	×	×
    (1.2)	xPyIz	○	○	○	×	×
    (1.3)	xIyPz	○	○	○	×	×
    (2.1)	yPzPx	○	×	×	×	○
    (2.2)	yPzIx	○	×	×	×	○
    (2.3)	yIzPx	○	×	×	×	○
    (3.1)	zPxPy	○	○	○	○	○
    (3.2)	zPxIy	○	○	○	○	○
    (3.3)	zIxPy	○	○	○	○	○
    (4)	xPzPy	○	○	○	○	○
    (5)	zPyPx	○	×	×	○	○
    (6)	yPxPz	○	×	×	×	○
    (7)	xIyIz	×	○	×	×	○

  • 13ケースの順序について，〜(xIiyIiz) ∧ yRiz→yPixが成立しているケースがどれか確認すると以下のようになります。
    
    

    		A: 〜(xIiyIiz)	B: yRix	A∧B	C: yPix	A∧B → C
    (1.1)	xPyPz	○	×	×	×	○
    (1.2)	xPyIz	○	×	×	×	○
    (1.3)	xIyPz	○	○	○	×	×
    (2.1)	yPzPx	○	○	○	○	○
    (2.2)	yPzIx	○	○	○	○	○
    (2.3)	yIzPx	○	○	○	○	○
    (3.1)	zPxPy	○	×	×	×	○
    (3.2)	zPxIy	○	○	○	×	×
    (3.3)	zIxPy	○	×	×	×	○
    (4)	xPzPy	○	×	×	×	○
    (5)	zPyPx	○	○	○	○	○
    (6)	yPxPz	○	○	○	○	○
    (7)	xIyIz	×	○	×	×	○

  • 以上より，13ケースの順序のうち，(1.1), (1.2), (1.3), (3.2)を除いた9ケースのみが可能なケースとして残されていることになります。
  • 数式3行目の∀i: [(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)]について。この前提の下で，青の∀i: xPiy→zPiyと緑のxIiy→zRiyが成立することは以下のように確認できます。
    
    

    		A: xPiy	B: zPiy	A→B	C: xIiy	D: zRiy	C→D	(A→B)&(C→D)
    (2.1)	yPzPx	×	×	○	×	×	○	○
    (2.2)	yPzIx	×	×	○	×	×	○	○
    (2.3)	yIzPx	×	×	○	×	○	○	○
    (3.1)	zPxPy	○	○	○	×	○	○	○
    (3.3)	zIxPy	○	○	○	×	○	○	○
    (4)	xPzPy	○	○	○	×	○	○	○
    (5)	zPyPx	×	○	○	×	○	○	○
    (6)	yPxPz	×	×	○	×	×	○	○
    (7)	xIyIz	×	×	○	○	○	○	○

  • 数式4行目の∀i: [(yPiz→yPix)&(yIiz→yRix)]について。この前提の下で，青の∀i: yPiz→yPixと緑のyIiz→yRixが成立することは以下のように確認できます。
    
    

    		A: yPiz	B: yPix	A→B	C: yIiz	D: yRix	C→D	(A→B)&(C→D)
    (2.1)	yPzPx	○	○	○	×	○	○	○
    (2.2)	yPzIx	○	○	○	×	○	○	○
    (2.3)	yIzPx	×	○	○	○	○	○	○
    (3.1)	zPxPy	×	×	○	×	×	○	○
    (3.3)	zIxPy	×	×	○	×	×	○	○
    (4)	xPzPy	×	×	○	×	×	○	○
    (5)	zPyPx	×	○	○	×	○	○	○
    (6)	yPxPz	○	○	○	×	○	○	○
    (7)	xIyIz	×	×	○	○	○	○	○

p.213 「∀i:{[(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)] & [(yPiz →yPix) & (yIiz →yRix)]}」(p.212)からの変形について。

• p.213の最初の式への変形は，書籍の脚注6で説明されています。この説明の内容を確認しましょう。
• 「もし(xPiy⇔zPiy)&(xIiy⇔zIiy)ならば，中立性（P.88）によって，(xPy→zPy)&(xIy→zIy)」について。
  • 「(xPiy⇔zPiy)&(xIiy⇔zIiy)」は単なる仮定です。P.212で実際に導出さたのは「(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)」でした。ですが，これを利用するために，まずは仮定ベースの議論が開始されました。
  • 中立性は，(∀i: xRiy⇔zR'iw)&(∀i: yRix⇔wR'iz)→(xRy⇔zR'w)&(yRx⇔wR'z)]が任意のx, y, z, w∈Xに対して成立することでした。
  • 各個人の選好に順序が前提されている場合，この式の左辺の(∀i: xRiy⇔zR'iw)&(∀i: yRix⇔wR'iz)は， (∀i: xPiy⇔zP'iw)&(∀i: yIix⇔wI'iz)と同値です。
  • すなわち，中立性は，「(∀i: xPiy⇔zP'iw)&(∀i: yIix⇔wI'iz)→(xRy⇔zR'w)&(yRx⇔wR'z)]が任意のx, y, z, w∈Xに対して成立すること」でもあります。
  • さて，(xRy⇔zR'w)&(yRx⇔wR'z)が成立しているのですから， もしxPyであればzP'wであり，xIyであればzI'wです。つまり，(∀i: xPiy⇔zP'iw)&(∀i: yIix⇔wI'iz)→(xRy⇔zR'w)&(yRx⇔wR'z)→(xPy→zP'w)&(xIy→zI'w)です。
  • wをyと書き換えると，(∀i: xPiy⇔zP'iy)&(∀i: yIix⇔yI'iz)→(xPy→zP'y)&(xIy→zI'y)]となります。
  • また，今は個人の選好の布置が変わった訳ではないので， RとR'を区別する必要はなく，こうして(xPy→zPy)&(xIy→zIy)が得られることになります。
  • 以上，「もし(xPiy⇔zPiy)&(xIiy⇔zIiy)ならば，(xPy→zPy)&(xIy→zIy)」と確認されました。
• 「(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)であれば，非負の反応性（P.90）によって(xPy→zPy)&(xIy→zRy)」について。
  • 非負の反応性は，∀x,y ∈X: [∀i:(xPiy→xPi'y)&(xIiy→xRi'y)] →[(xPy→xP'y)&(xIy→xR'y)]が成立することでした。
  • つまり，個人レベルでP→P，I→Rならば，社会レベルでも同様であるということでした。 この点では，今回の脚注での議論と対応しているようにも見られます。
    • すでに「もし(xPiy⇔zPiy)&(xIiy⇔zIiy)ならば，(xPy→zPy)&(xIy→zIy)」と確認されていました。
    • そこで，P.212で得られた実際の前提である「(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)」を考えるならば，それは P→P, I→Rという変化とも位置づけられ，よって，社会レベルの同様の変化(P→P, I→R)の結果として，「(xPy→zPy)&(xIy→zRy)」が得られるというようにも見えます。
  • ただ，P.90では，xとyという2つの選択肢でのみ定義されていた点，PやIからP'やR'（記号付き）という社会的選好関係の変化を想定した定義になっていた点で，今回との異なりが感じられます。以下，この異なりに注意して式の展開を確認します。
    • (xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)でした。
    • zPiy⇔xPi'y&zIiy⇔xIi'yとします。
    • xPiy→zPiy→xPi'y とxIiy→zRiy→(zPiy or zIiy)→(xPiy or xIiy)→xRi'yが成立していることになります。
    • 非負の反応性が成立しているので，∀x,y ∈X: [∀i:(xPiy→xPi'y)&(xIiy→xRi'y)]→[(xPy→xP'y)&(xIy→xR'y)]です。 （前半部分は直前の項目で確認しました。）
    • ところで，中立性は，「(∀i: xPiy⇔zP'iw)&(∀i: yIix⇔wI'iz)→(xRy⇔zR'w)&(yRx⇔wR'z)]が任意のx, y, z, w∈Xに対して成立すること」でもありました。これより， xとzを入れ替え，またwをyに置き換えて， 「(∀i: zPiy⇔xP'iy)&(∀i: (zIiy⇔xI'iy)→(zRy⇔xR'y)&(yRz⇔yR'x)]」が得られます。
    • こうして(zRy⇔xR'y)&(yRz⇔yR'x)が得られ，よって(xP'y⇔zPy)&(yI'x⇔yIz)と確認できます。
    • 以上，色をつけた各点を非負の反応性の式に当てはめると，∀x,y ∈X: [∀i:(xPiy→zPiy)&(xIiy→zRiy)]→[(xPy→zPy)&(xIy→zRy)]の式が得られます。
• 「同様にしてyRz→yRx」の点は，同様ということでよいかと思います。
• こうして，[(xRy→zRy) &(yRz→yRx)]が得られました。
• これを用いて，(xRy & yRz & zRx)→(xRy & zRy & yRz & yRx & zRx)→((xRy & yRx) & (zRy & yRz) & zRx)→(xIy & yIz & zRx) →(xIy & yIz)を確認します。（xRyとyRzに加えて，zRxを持ち込んで展開を確認しています。）
• 続く2式はx, y, zを入れ替えたものということでよいでしょう。
• 証明の最後の8行の説明は判りやすいと思います。uPv, vPw wRuのような準推移性を否定する組み合わせ（Pを2つ用いるので，Iは高々1つしか加わりません）が見つからないことを説明しています。このような組み合わせの存在には，まず(xRy & yRz & zRx)か(yRx & xRz & zRy)のような循環が必要ですが，それを仮定したとたんに，無差別(I)が2つ生じてしまうことが明らかになってしまいました。よって，準推移性は否定できない（準推移的である）ことが確認されて，証明終了となります。