検討項目
| 位置 |
検討する部分 |
種別 |
訂正案, コメント |
| P.38 L.16 |
（補題2*bについて） |
X |
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- 補題は冒頭の（A）「#Rが.....のある集合的選択ルールとなる」と(B)
「∀x, y ......xRyj]」（式の部分）が同値であることを主張しています。
（本HPでは文字の上のラインを#で表します。#の意味は以下同様。）
- 証明の最初から3行目途中までは，(B)→(A)を証明しています。
- どの個人iについても，xIiyか，
xPiyか，yPixのいずれかが成立します。（第２章では各個人の選好に完備性を前提しているからです←P.37 L.5「われわれは各人が順序をもっているとする。」）
- そこで，全体としては，「すべてのiにとってxIiy」と，「何らかのiにとってxPiy（もしくは何らかのiにとってyPix）」は必ずどちらか一方が成立します。
- （何らかのiにとってyPixのケースは，何らかのiにとってxPiyのケースと同時成立する場合もあるし，単独成立する場合もあります。ただ，いずれにせよ何らかのiにとってxPiyの場合と証明手順が同じになるため，書籍では議論が省略されています。本HPでも，そのように議論を進めます。）
- 「すべてのiにとってxIiy」ならば，
(B)の→の前半部がもともと成立しないので(B)全体は成立しています。
また，「すべてのiにとってxIiy」ということは，定義2*3（P.37-38）から，x#Iyです。つまり，この場合は，社会レベルでもxとyは無差別であるといえ（社会レベルでxとyは比較できている），xとyについて完備性は問題ないことになります。
- 「何らかのiにとってxPiy」ならば，
(B)の式の形から∀j:xRjyということになります。
よって，P.37の定義2*3の(1)からx#Ryということになり，社会レベルでxとyについて完備性は問題ないことになります。
- 以上より，(B)→(A)は証明されました。
- 証明の３行目途中から最後は，(A)→(B)を（対偶をとってnot(B)→not(A)のかたちで）証明しています。
- 「条件が破られる」とは(B)が成立しないならばということです。
- よって，これは，（Xに属するあるx, yについて）あるiが存在してxPiyであるにも関わらず（Bの式の→の前半部が成立しているにも関わらず），あるjについてyPjxとなる（Bの式の→の後半部が成立しない）ということです。
- このようなx, yについては，P.37の定義2*3(1)からx#Ryもy#Rxも成立しないのですから，社会レベルで完備性が成立しないことになります。
- よって，not(B)→not(A)を確認でき，(A)→(B)が証明されました。
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本ページの概要とお願い：
- 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の
特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
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本ホームページの主旨や注意などについては，こちら（「読解のポイントを探る」項目リストページ）をご覧下さい。
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[2011年7月13日 初版をアップ]（最終アップデート：2015年8月21日）
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