検討項目
| 位置 |
検討する部分 |
種別 |
訂正案, コメント |
| P.26 L.25 |
（補題1*pについて） |
X |
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- 証明の3行目まではよいでしょう。
- 証明の4行目からは，PI→PPの背理法による証明です。
- PPが満たされないとすると，
「xPyかつyPzかつ～(xPz)」となるx, y, zがあるはずです。
- この～(xPz)について，以下を考えます。
-
完備性が前提されているので（証明1行目），xRz or zRxは必ず成立するはずです。
-
よってxRz or zRx=
(xRz & zRx) or (～(xRz) & zRx) or
(xRz & ～(zRx)) ですが，右辺の３番目の(xRz & ～(zRx))はxPzの意味ですから，（～(xPz)と矛盾するので）実際は可能性がありません。
-
残る部分をまとめ直すと (zRx & ～(xRz))または(zRx & xRz) です。
- つまり，「zRx」は必ず成立する必要がありますが，「zPx」（zRx & ～(xRz) ）のケースと，「zIx」（zRx & xRz）のケースがあるということです。
-
以上より，「PPが満たされないとすると，
xPyかつyPzかつzRxとなるx, y, zがあるはず」であり，
また(A)「zPx」または (B)「zIx」のいずれかが成立するといえます。
- 証明5行目のzPxはAのためです。このケースでは，x, y, zはいずれも自分より上のケースがあって選択集合に残れません（xはzPxが問題，yはxPyが問題，zはyPzが問題）。「選択関数を生成する」という前提に反するので，ありえないケースだったことになります。
- 証明6行目のzIxはBのためです。（Aが無理だったのでBを試みます。）しかし，これが「yPxかつxPy」の矛盾を生じていきます。
- 結局，A, Bのケースがどちらも成立せず，背理法による証明が終わることになります。
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本ページの概要とお願い：
- 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の
特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
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[2011年9月21日 初版をアップ]
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