検討項目
| 位置 |
検討する部分 |
種別 |
訂正案, コメント |
| P.26 L.9 |
（補題1*oについて） |
X |
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- (a)について
- (a)の証明部の2行目の「PPを満たさない」は，１行前の3番目が，（xPzと両立しない）zPxであるためです。
- 「PIを満たす」の点は，
まず「●P▲かつ
▲I■→●P■」
と書く上で，適当な●P▲
と▲I■の組があるかどうかを考えます。
-
（xIxやyIyを用いない範囲で考えると）
３つの異なる要素x, y, zの間にはすべて厳密な選考（つまりP）の関係があり，
無差別（つまりI）で結ばれた関係がないので，このような組がないのは自然に理解できます。（PIの定義は，p.15の補題1*aの(2)で確認できます。「○○→××」という様式ですので，ここで前提部分の○○が成立しなければ，PI自体は満たされていることになる点に注意します。）
- また，xIxやyIyを用いるとすれば（2つの異なる要素を用いることになります），
「 zPx かつ xIx → zPx」
「 xPy かつ yIy → xPy 」
「 yPz かつ zIz → yPz 」
の3ケースが考えられ，これらは全て成立します。
- 結局，3つの異なる要素を用いるケースと，2つの異なる要素を用いるケースのいずれでも，PIが満たされることが確認できました。
- (a)の証明部の3行目の「PIを満たさない」は，１行前の3番目が，（xPzと両立しない）xIzであるためです。
- 「PPを満たす」は，
（上記のPIで3つの異なる文字を用いた場合と同様に）「●P▲かつ
▲P■→●P■」
と書く上で，そもそも適当な●P▲
と▲P■の組がないためです。
- (b)について
-
「推移性が満たされていない」という仮定から，
まず「xRy
かつyRz
かつ〜（xRz)」
となるx, y, zが存在することになります。
（推移性の定義）
- Rは完備なので，xRz
とzRxのどちらかが成立しなければなりません。前項目より〜（xRz)なので，よって
zRxです。
-
zRx
かつ
〜（xRz)
なので，
よって
zPx
です（Pの定義：p.14の定義1*1）。
-
「xRyは
xPy
またはxIyを
含意する」とは，
「xRy
→
xPy
またはxIy」
ということです。
このことは，xRy
=
xRy
and
（
〜(yRx)
or
(yRx)
）
=
(xRy
and
〜(yRx))
or
(xRy
and
yRx)
=
xPy
or xIy
のように理解できます。
-
ところが，ここで
xPyとすれば，
すでに
zPxを得ていることと，
PPを仮定していることから，
zPyでなければ
いけないことになります。
しかし，これは，最初に前提した
yRzと矛盾します。
- 一方，ここで
xIyとすれば，
すでに
zPxを得ていることと，
PIを仮定していることから，
zPyでなければ
いけないことになります。
しかし，これも同じように最初に前提した
yRzと矛盾します。
- この矛盾は推移性が満たされていないと仮定したことによると
思われることから，背理法によって，推移性が満たされていることが
証明できたと結論します。
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本ページの概要とお願い：
- 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の
特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
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[2011年6月27日 初版をアップ]（最終アップデート：2017年1月5日）
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