アマルティア・センの『集合的選択と社会的厚生』を開く

II．読解のポイントを探る　【p.22 L.4】

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検討項目

位置 検討する部分 種別 訂正案, コメント
P.22 L.4 （補題1*kについて） X



  • 証明2行目「..を考えよ」まではよいと思います。
  • 次の「反射性と完備性より，この中に最良要素が存在する」は，例えば次のように理解できると思います。
    • 反射性から，xRx，yRyが成立します。
    • 完備性から，xとyに関して，xRyとyRxの少なくともどちらかが成立します。a)xRyのみ成立，b)yRxのみ成立，c)xRyとyRxが両方成立，の3ケースが考えられます。
    • つまり，a)xPyが成立， b)yPxが成立, c)xIyが成立の3ケースです。
    • a)では最良要素としてxがあります（xRyかつxRx）。同様に，b)ではyがあります（yRxかつyRy）。c)ではx, yがあります（xRyかつxRx, yRyかつyRy）。
    • 以上，3ケースすべてで最良要素が存在します。
  • 証明3行目の「証明は帰納法によって..」から 証明5行目の「すると， k=1, ..., jにたいして aj R xk が成り立つ」まではよいと思います（これが成り立つのは最良要素の定義です）。
  • 次は，これまでの最良要素 aj と新しく付け加えた xj+1を比較してケース分類しています。 「いずれにせよ新しい集合の中には最良要素が存在する」ことを確認する展開です。
  • ケース分類では，以下の2ケースしかありません。
    • xj+1Paj （つまり，xj+1Rajかつ～( aj R xj+1））
    • aj R xj+1 （つまり， aj R xj+1 かつ ～( xj+1Raj) （aj P xj+1） または aj R xj+1 かつ xj+1Raj （aj I xj+1） ）
    ※完備性があるので，2要素が比較不可能ということはありません。つまり，～(xj+1Raj)かつ～( aj R xj+1） というケースは考慮不要です。
  • 証明6行目の「もし後者ならば，...の最良要素でもある」の文は， 上記の下のケースについて最良要素の存在を確認したことの説明で，これはよいでしょう。
  • 証明7行目の「もしも前者ならば」以降は，上記の上のケースについての説明で，下記のように理解できます。
    • 「xj+1が最良要素である」と示すことで最良要素の存在を確認するのが基本方針です。
    • この作業を「xj+1は最良要素でない」と仮定して矛盾を導く背理法で進めています。
    • 具体的には「 あるk=1, ..., jにたいして xk P xj+1 」と仮定して作業を始めました。 （この仮定が成立するときにのみ「xj+1は最良要素でない」というのは，最良要素の定義によります。）
    • さて，この「 あるk=1, ..., jにたいして xk P xj+1 」の仮定で，そのようなxkを実際に取り出し，先の xj+1Paj を考え合わせると， xk P aj が成立することになります（ 下線部について準推移性を考えます）。
    • ですが，この xk P aj は，前述の k=1, ..., jにたいして aj R xk と矛盾するものです。
    • 以上で， 「xj+1は最良要素でない」と仮定すると矛盾が生じることが確認されました。
  • 2ケースのいずれについても， 最良要素が存在することが確認され，証明が終了することになります。





本ページの概要とお願い：
  • 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の 特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
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[2013年6月2日 初版をアップ] （最終アップデート 2013年6月12日）



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