アマルティア・センの『集合的選択と社会的厚生』を開く

II．読解のポイントを探る　【P.19 L.9】

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検討項目

位置 検討する部分 種別 訂正案, コメント
P.19 L.9 （定義1*5について） X



〔議論1〕
  • (2)の左辺に「xQ1y」があります。
  • そこで(1)を考え合わせれば，(2)の右辺は 「xQ2y and 〜(yQ2 x）」と書いてもよいことになります。この式を(2')とします。
  • すると，(1)も(2')も，左辺と右辺の違いは下のようにQのインデックスのみということになります。 （このように考えると判りやすいと思います。）
    　(1) xQ1y→xQ2y
    　(2') [xQ1y and 〜(yQ1 x）]→ [xQ2y and 〜(yQ2 x）]
  • さらに見やすくするために，ここでQ1をR1，Q2をR2と書き変えてみます。
    　(1) xR1y→xR2y
    　(2') [xR1y and 〜(yR1 x）]→ [xR2y and 〜(yR2 x）]
  • そして，（これまでRをベースにPを定義して使ってきたことに倣い）R1に対してP1，R2に対してP2という表記を導入して使うとすると，上の式は次のように表現できます。
    　(1) xR1y→xR2y
    　(2') xP1y→xP2y
  • 結局，「部分関係である」とは，元の2項関係でRであれば矢印の先の2項関係でもR，元の2項関係でPであれば矢印の先の2項関係でもPの関係にある，ということと理解できます。
    （そして，この部分関係の考え方が，後で第2章P.39（下から3行目）の「伝統的な厚生経済学は...本質的に『パレート主義者』であった」等の議論に結びついていくことになります。）
〔議論2〕
  • ところで，部分関係の特徴は，表として表現することでさらによく理解できます。
  • 例えば，{v, w, x, y, z}という要素の集合に関して，Q1として次のような準順序を考えます。（aQ1bの関係があるとき，該当するセルに●の印をつけています。）

    a＼b v w x y z
    v ● ●      
    w ● ●      
    x     ●    
    y     ● ●  
    z     ● ● ●

  • この準順序Q1を部分関係として含む準順序Q2を作ることを考えたいのですが，その前に準順序Q1の表自体を考えるため，表に色をつけてみます。

    a＼b v w x y z
    v ● ●      
    w ● ●      
    x     ●    
    y     ● ●  
    z     ● ● ●

    ※対角線上の緑のセルは，自分自身との2項関係に対応する部分を強調したものです。準順序（反射性と推移性）は反射性を満たしますので，これらにはすべて●がつきます。

    ※また，オレンジ色の2セルは，この対角線に関して対称な2セルを一組取り上げたものです。本HPでは，このような2セルを「対セル」（ついせる）と呼ぶことにします。例えば，上記のオレンジ色の2セルの他，w行v列のセルとv行w列のセルなど，対角線に関して対称な位置のセルはすべて対セルです。

  • つぎに上の2項関係を部分関係として含む準順序Q2の具体例をつくることを考えます。
    • (1)の規則により，元の表で●があるセルは， 準順序Q2の表でも●があるはずです。
    • (2)の規則により，元の表で対セルの一方にだけ●があるセルは，準順序Q2の表でもその一方にだけ●があるはずです。
    • その他は，（推移性の維持という制約の範囲内で）自由に●を足してよいことになります。
  • 下の表は，上記の手順の意味を視覚的にまとめたものです。赤いセルには●を入れられません。青いセルの中には（推移性の維持という制約の範囲内で）●を足しても構いません。こうしてできる任意の二項関係が，準順序Q2として採用可能です。

    a＼b v w x y z
    v ● ●      
    w ● ●      
    x     ●    
    y     ● ●  
    z     ● ● ●

  • 具体的には，例えば以下のような表を考えることができます。

    a＼b v w x y z
    v ● ●      
    w ● ●      
    x     ●    
    y     ● ●  
    z ● ● ● ● ●

    a＼b v w x y z
    v ● ●      
    w ● ●      
    x ● ● ●    
    y ● ● ● ●  
    z ● ● ● ● ●

    • a＼b v w x y z
    v ● ● ●    
    w ● ● ●    
    x ● ● ●    
    y ● ● ● ●  
    z ● ● ● ● ●





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  • 本ホームページは，Amartya Sen先生の『集合的選択と社会的厚生』（日本語版, 勁草書房）の 特定の記述項目について，読む上でのポイントを考えるものです。
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[2010年12月2日 初版をアップ]（最終アップデート：2013年6月2日）


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